%线性代数学习笔记
\documentclass{ctexbook}
\author{mifang}
\date{\today}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pifont}
\usepackage{tikz}
% 定义符号：平行且等于
% http://fanhongtao.github.io/2018/06/13/draw-parallelogram.html
\newcommand\paralleleq{
	\mathrel{\text{
			\tikz[baseline,line width=0.1ex,line cap=round]
			\draw (0,0) -- (.7em,0)
			(0,.3ex) -- (.7em,.3ex)
			(.2em,.55ex) -- (.4em,1.8ex)
			(.35em,.55ex) -- (.55em,1.8ex);}}}

% 定义图形：平行四边形
\newcommand\parallelogram{
	\mathord{\text{
			\tikz[baseline]
			\draw (0,.1ex) -- (.8em,.1ex) -- (1em,1.6ex) -- (.2em,1.6ex) -- cycle;}}}

% 定义中文拼音缩写，方便使用
\let\pxsbx\parallelogram
\let\pxqdy\paralleleq
\begin{document}
\newtheorem{example}{例}
\chapter{行列式}
\section{二阶和三阶行列式}
\subsection{高中数学回顾}
乘法交换律

\begin{math}
	2\times3=3\times2 .
\end{math}

\begin{math}
	ab=ba .
\end{math}

矩阵乘法。

\begin{math}
	AB=BA\text{矩阵乘法一般情况下不成立。}
\end{math}

0代表数字0。

0代表矩阵0。

0代表0向量。

0代表0元素等等。

\text{思考题：0元素是否可以代表0函数？}
\subsection{二阶行列式}
方程组
\begin{equation*}
	\begin{cases}
		5x+6y=7 \\
		9x+4y=3
	\end{cases}
\end{equation*}
常规解法一般可用消元法。
简单运算可得公式\eqref{eq220}。
\begin{equation}\label{eq220}
	\begin{cases}
		5\times9x+6\times9y=7\times9\\
		9\times5x+4\times5y=3\times5
	\end{cases}
\end{equation}
1式-2式移项可得
\begin{math}
	(6\times9-4\times5)y=7\times9-3\times5.
\end{math}
即
\[
y=\frac{7\times9-3\times5}{6\times9-4\times5}.
\]
和公式\eqref{eq221}。
\begin{equation}\label{eq221}
	\begin{cases}
		5\times4x+6\times4y=7\times4\\
		9\times6x+4\times6y=3\times6
	\end{cases}
\end{equation}
同理求解可得
\[
x=\frac{7\times4-3\times6}{5\times4-9\times6}
\]

观察x和y，可得所有解均由4个数两两相乘再相减。

构造一个二元一次（线性）方程组。
\begin{equation}
	\begin{cases}
		a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1\\
		a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2
	\end{cases}
\end{equation}
为了消去未知数$x_2$\footnote{课后自行搜索查阅高斯消元法和克莱姆法则。}，上式中1式需要乘以$a_{22}$，式2乘以$a_12$，移项化简可得
\begin{equation*}
	(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})x_1=b_1a_{22}-a_{12}b_2 .
\end{equation*}
类似方法消去$x_1$，可得
\begin{equation*}
	(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})x_2=a_{11}b_2-b_1a_{21} .
\end{equation*}
当$a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\leq0$时，分别可解得
\begin{equation}\label{req223}
	x_1=\frac{b_1a_{22}-a_{12}b_2}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}. \qquad
	x_2=\frac{a_{11}b_2-b_1a_{21}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}.
\end{equation}
观察可得，分母部分由等号前面部分系数两两相乘所得，分子部分不和同一个等式内系数相乘，将方程含有未知数$x_1$和$x_2$部分提取出来，组成一个二行二列\footnote{横排称行，竖排称列。}数组。
可得数组
\begin{equation}\label{eq224}
	\begin{vmatrix}
		a_{11} & a_{12} \\
		a_{21} & a_{22}
	\end{vmatrix}
	=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}.
\end{equation}
\text{\color{red}{思考题：能否将四项式$a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}$反向转换矩阵？}}

并记作二阶行列式。式中$a_{ij}$（i=1,2;j=1,2）称为行列式元（素）。ij为元素下标，其中i称为行标，j称为列标。a$_{ij}$表示第i行第j列某个元素。

上述（二阶）行列式可用对角线法则来辅助记忆。把$a_{11}a_{22}$称为主对角线，$a_{12}a_{21}$或$a_{21}a_{12}$称为副对角线。于是二阶行列式等于实对角线与虚对角线乘积再作差，参见公式\ref{eq224}。

逆推公式\ref{eq224}，可得
\begin{equation*}
	b_1a_{22}-a_{12}b_2=
	\begin{vmatrix}
	b_1 & a_{12} \\
	b_{2} & a_{22}
	\end{vmatrix}.\quad
	a_{11}b_2-b_1a_{21}=
	\begin{vmatrix}
		a_{11} & b_1 \\
		a_{21} & b_2 
	\end{vmatrix} .
\end{equation*}
若记
\begin{equation*}
	D=
	\begin{vmatrix}
		a_{11} & a_{12} \\
		a_{21} & a_{22}
	\end{vmatrix},\quad
	D_1=
	\begin{vmatrix}
		b_1 & a_{12} \\
		b_{2} & a_{22}
	\end{vmatrix},\quad
	D_2=	
	\begin{vmatrix}
		a_{11} & b_1 \\
		a_{21} & b_2 
	\end{vmatrix}.
%不能包含制表符空白行
\end{equation*}
则公式\ref{req223}可以写作
\begin{equation*}
x_1=\frac{D_1}{D}=\frac{\begin{vmatrix}b_{1}$\enspace$&a_{12}\\b_2$\enspace$&a_{22}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}},\quad x_2=\frac{D_2}{D}=\frac{\begin{vmatrix}a_{11}&$\enspace$b_1\\a_{21}&$\enspace$b_2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}.
\end{equation*}
对比观察上式$x_1$和$x_2$分子分母可发现贯穿分式竖列替换现象，$x_1$分式中$a_{11}$和$a_{21}$被$b_1$和$b_2$替换（左竖列），$x_2$分式中$a_{12}$和$a_{22}$被$b_1$和$b_2$替换（右竖列）。

二阶行列式在代数学上可以用来求解二元线性方程组（或二元一次方程组），不包含二元二次以上方程组。

\ref{eq224}作为分子D时，需要判断D是否为0。当D$\neq$0时，方程有且仅有1组解，当D=0时，方程存在0个或无数个解。

二元一次方程组需要至少2组方程，且方程组子方程图像不能平行，否则方程无解。

\textcolor{red}{思考题：尝试列举出一个无解二元一次方程组。}

二阶行列式在几何学上表示二维平面空间平行四边形面积。

设$\vec{m}=(a_{11},a_{12})$，夹角为$\alpha$,$\vec{n}=({a_{21},a_{22}})$，夹角为$\beta$。

%$|\overrightarrow{m}|=m$，$|\vec{n}|=n$。
$|\vec{m}|=m$，$|\vec{n}|=n$。

当$|m|,|n|\neq0$时，设$m,n$所构成平行四边形面积为mh（平行四边形高）。
\begin{eqnarray*} \label{shiliang1}
	S_{\pxsbx}&=&mh \notag \\
	&=&mn\sin(\beta-\alpha) \notag \\
	&=&mn(\sin\beta\cos\alpha-\cos\beta\sin\alpha) \notag \\
	&=&m\cos\alpha\cdot n\sin\beta-m\sin\alpha\cdot n\cos\beta \notag \\
	&=&a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\end{eqnarray*}
回到D定义。

当$m$或$n=0$时，$\vec{m},\vec{n}$共线，可以理解为无法构成平行四边形或平行四边形面积为零。
\subsection{三阶行列式}
定义一个三位数组
\begin{center}
	$a_{11}$\quad $a_{12}$\quad $a_{13}$ \\
	$a_{21}$\quad $a_{22}$\quad $a_{23}$ \\
	$a_{31}$\quad $a_{32}$\quad $a_{33}$
\end{center}

记作三阶行列式
\begin{equation}
A=	\begin{vmatrix}
		a_{11}& a_{12}& a_{13} \\
		a_{21}& a_{22}& a_{23} \\
		a_{31}& a_{32}& a_{33}
	\end{vmatrix}
\end{equation}
\begin{math}	=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{32}a_{13}-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33} \\
=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{32}a_{13}-(a_{31}a_{22}a_{13}+a_{11}a_{32}a_{23}+a_{21}a_{12}a_{33})
\end{math}

可以简单理解为所有项均有3个元素相乘，主对角线三个元素连乘，和2个数（角数）与中数交叉相乘。副对角线三个项同理计算即可。

尝试计算三阶行列式。
\begin{equation*}
D=	\begin{vmatrix}
		1  & \enspace2\enspace & -4 \\
		-2 & \enspace2\enspace & 1  \\
		-3 & \enspace4\enspace & -2
	\end{vmatrix}
\end{equation*}
\begin{example}

\end{example}
\textcolor{red}{补充内容：对角线法则仅对二阶和三阶行列式成立。}

注意事项：

\ding{172} 两项（一项或三项）相加，主项（主对角线）为正，副项（副对角线）为负。

\ding{173} $a_{ij}$中，一般默认i为行标，j为列标，$a_{ij}$表示第i行第j列某个元素。

\ding{174} 不同行不同列元素相乘。

\ding{175}习惯上先写上行，再写下行。

三阶行列式代数方面可以用于解三元一次（线性）方程组（D$\ne0$）。几何意义代表三维空间中平行六面体体积（三个三维向量不共面时）。
\subsection{行列式常见名词}
例如有2级排列
\begin{center}
	 12 21
\end{center}。

3级排列
\begin{center}
	123 132 213 231 321 312
\end{center}。

n级排列有
\begin{equation*}
	n(n-1)(n-2)\cdots3\times2\times1=n!\quad(n\in N)
\end{equation*}
个取法。

\textcolor{red}{思考题：n阶排列共有多少个数组（逆序对）？}
\begin{equation*}
	\sum_{i=1}^{n}i!=(n+1)!-1\quad (n\in N^{*}).
\end{equation*} 
%\subsection{全排列及逆序数}
对于n个$\underline{可排序元素}$，可以将各个元素由小到大排序，称为标准排列，又称为自然排列。当排列出现重复值时，仅作一个元素，同时减去对应重复元素个数m，可得$n\geqslant m\geqslant1(m,n\in N)$。

例如一个标准排列1 2 3 3 4 5，其中n=6，m=5。

当各个可排序元素非标准排序时，由大到小排序称为逆序（排序）可以理解为元素下标和元素值排列顺序相反。

例如一个一维6个元素排列A=
\begin{center}
	7 5 4 6
\end{center}
其中第$i$个元素小于第$j$个元素，即$1\leqslant i<j\leqslant n$(本例中$n$为4)，$i,j$为元素下标，但$a_{i}>a_{j}$，称为逆排序。逆排序总数称为逆排序数。

本例中标准排序为
\begin{center}
	4 5 6 7
\end{center}。
本例中有$A_1=7>A_2=5$，$A_1=7>A_4=6$等多个逆序对。逆序（对总）数为3+1+1=5。

排列B=
\begin{center}
	7 5 4 6
\end{center}
时，逆序数为3+1+0=4。


小贴士：逆序对必须两两组合，序号（下标增序排列，值降序排列），也可以简单理解为依次从第一位比较后续数，存在从大到小数对总数记作$a_{n}$，再从倒数第二个数往后比较，逆序对总数记作$a_{n-1}$，循环进行，直到比较到倒数最后两位数数，记作$a_{1}$，逆序对数将各个值相加即为逆序数。

引入符号N表示逆序数，则有$\text{N}(\underline{4}\enspace\underline{2}\enspace\underline{1}\enspace\underline{3})=3+1+0=4$。

当逆序数N为偶数时，称为偶排列，否则为奇排列。

$\text{N}(\underline{1}\enspace\underline{2}\enspace\underline{3}\cdots\underline{n})=0$时即为标准排列。

$\text{N}(\underline{n}\underline{n-1}\cdots\underline{3}\enspace\underline{2}\enspace\underline{1})$值为$(n-1)+(n-2)+\cdots+3+2+1=\dfrac{n(n-1)}{2}(n>1,n\in N)$。
一个排列进行奇数次逆序对调换，逆序数N发生奇排列和偶排列对换，进行偶数次逆序对排列，逆序数N奇偶性不发生改变。当一个序列总不重复元素为n时，则奇排列和偶排列数总和N为$2\times(\dfrac{n!}{2})=n!(n\in N)$。

\textcolor{red}{思考题：是否存在一阶行列式？行列式行数和列数是否可以不相等？}

对角线法仅限于二阶和三阶行列式。

\subsection{克拉默法则}
克莱姆法则或克莱姆法则（英语：Cramer's rule / formula），是一个线性代数定理，用行列式来计算出线性方程组所有解。这个定理因加百列·克莱姆（1704年 - 1752年）使用而命名。在计算上，并非最有效率，因而在多条等式情况中没有广泛应用。不过，这一定理在理论性方面十分有效。
\end{document}